三角形内角和为180°，这其实是平面几何的必然成果，也是《几何原本》中第五公设的推论；若是分开了平面几何，好比在一些曲面上，三角形的内角和是可以不等于180°的。
我们有良多方式，来证实平面内三角形内角和为180°，也就是一个平角的角度，可是无论我们用到什么方式，素质上都用到了欧几里得第五公设或者是第五公设的等价道理。
这此中隐含的道理，数学家们摸索了两千多年，若是你不利用第五公设（或者等价道理），你是不成能证实三角形内角和为180°的。
公元前300年前后，闻名古希腊数学家欧几里得创作了《几何原本》，书中以23条界说、五个正义和五个公设为根本，以严密的数学逻辑推导出467个定理，奠基了平面几何的根本。
正义是指人类按照实际经验得出，无需自证的根基事实，《几何原本》中的五个正义包罗：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，和相等。
3.等量减等量，差相等。
4.彼此重合的图形是全等的。
5.整体大于部门。
公设也是指无需自证的根基事实，可是比拟于正义来说，公设更有深度一些，近代数学中公设等价于正义，《几何原本》中的五个公设包罗：
1.过两点能作且只能作一条直线。
2.线段可以无限耽误。
3.以任一点为圆心，肆意长为半径可作一圆。
4.直角都相等。
5.平面内一条直线和两条直线订交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线无限耽误后在这一侧必然订交。
五个公设中的前四个很轻易理解，根基上也不会有争议，可是赫赫有名的第五公设可折腾了数学家两千多年，因为第五公设看起来怎么也不像不证自明，固然欧几里得极尽削减第五公设的说话描述，可是第五公设比前面四个公设加起来还长。
因为第五公设素质上与“平行线不订交”等价，所以第五公设也叫做平行公设，汗青上有良多人试图用前面四个公设来证实第五公设，但都掉败了。固然有一些人传播鼓吹完当作了证实，可是在证实过程中，都不经意地引入了第五公设的等价命题，好比平行线不订交、三角形内角和为两个直角等等。
欧几里得在著作《几何原本》时，必定也注重到了这个问题，相信他也做过近似的测验考试，以至于第五公设在《几何原本》中直到命题29才首先被利用，并且这个命题必需得利用第五公设才能完当作证实。
命题29：一条直线与两条平行直线订交，则所当作的内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于180°。
在1795年，英国数学家普莱费尔提出了一条和第五公设等价的描述，既“过直线外一点，能且只能做一条平行线”，该描述比《几何原本》中的描述简单良多，被称作普莱费尔正义。
直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米，才首先证实第五公设自力于前面四条公设，并且第五公设的否认描述也是自洽的，也就是说欧氏几何与非欧几何是两个分歧的几何系统。
其实早在贝尔特拉米之前，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就已经发现了第五公设不成证，此刻我们把非欧几何中的双曲几何，也称作罗巴切夫斯基几何。
在统一期间，德国数学家黎曼从第五公设的别的一个背面出发，创立了椭圆几何，也称作黎曼几何，于是黎曼几何与罗巴切夫斯基几何配合称作非欧几何，它们的区别在于：
1、欧氏几何，也称作平面几何，第五公设当作立，平面内三角形内角和等于180°，过直线外一点可以做一条平行线。
2、黎曼几何，也称作椭圆几何，第五公设不当作立，平面内三角形内角和大于180°，过直线外一点找不到任何一条与之平行的直线。
3、罗巴切夫斯基几何，也称作双曲几何，第五公设不当作立，平面内三角形内角和小于180°，过直线外一点至少可以做两条平行线。
此刻我们知道，数学家争论了上千年的第五公设，原本就是一个自力的正义，而这个自力正义的背面也是一个正义，从分歧的正义出发可以获得分歧的数学系统，这也是第五公设不成证的素质原因，从第五公设背面成立起来的非欧几何，也是广义相对论的数学根本。
这此中隐含的数学思惟长短常深刻的，数学中还存在良多近似的道理，好比在1900年，德国数学家希尔伯特提出了23个数学问题，排第一的是持续统假设，直到几十年后，数学家才证实持续统假设也是自力的，而持续统假设的背面，则是别的一个自洽的数学系统。
