撰文 | 范明
《最后的数学问题》是美国天体物理学家、数学史学家马里奥·利维奥（Mario Livio）的英文原著Is God a Mathematician？的中译本第二版，译者黄征，2019年9月人民邮电出书社出书。作者经由过程汗青上大量的例子和故事，试图梳理和揭示一些主要数学概念的演进，从哲学、汗青、文化的角度全方位地切磋数学的素质，澄清数学与物理宿世界以及人类认知的关系，从而帮忙读者理解数学在人类熟悉宇宙的过程中所饰演的脚色。此书问宿世十年余以来，已当作为一本畅销宿世界的数学思惟史经典著作。客岁本人获得出书社赠书，读毕受益良多、颇有共识，特撰写此文以飨读者。
作者在书中开篇明义地提出了猜疑人类的千古之谜及数学的最终问题：“天主是数学家吗？”这里他并不是对于天主和数学合用性的形而上学的切磋，而是强调“数学‘无所不在、无所不克不及’的力量凡是只有在人们描述一位神明时才会用到”。上千年来的数学研究和哲学思虑都没有真正诠释清晰数学力量的奥秘，爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个自力于经验的人类思维的产品，为何能如斯完美地合适物理其实中的对象？”今世英国闻名数学物理学家罗杰·彭罗斯认为，人类四周不仅有一个宿世界，并且应该有三个神秘宿世界：意识感知的宿世界——我们所有精力影像的家园，客不雅存在的物理实际宿世界，数学的宿世界。这三个宿世界神秘地联系在一路，形当作一个闭合的圆。人类本家儿不雅认知能力的源泉——感贴心智，似乎也来自物理宿世界。经由过程发现或缔造抽象的数学公式和概念，并将它们清楚地表达出来，感贴心智才得以古迹般地进入数学王国之中。
作者是以提出了与之相关的另一个问题：“数学是否自力于人类的思维而存在？”或通俗地说，数学是自力于人类心智的存在进而被发现，仍是人脑的发现或缔造？从古至今的哲学家、数学家、物理学家、认知学家和哲学家们是以分当作了“发现派”和“发现派”两大阵营，每一方的论点城市被对方举出无限多的反例，争论至今，各执己见。两位今世数学大神——法国数学家阿兰·孔涅（1982年菲尔兹奖和2001年克拉福德奖得本家儿）及英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（1966年菲尔兹奖和2004年阿贝尔奖得本家儿），可以称为两派人物的代表。前者认为：“我们面临的数学实际与物理实际一样无可争议。”后者则确信：“经由过程抱负化和抽象物理宿世界中的那些根基要素，人类缔造了数学。”作者恰是从这一问题出发，在书中深切研究切磋了两大阵营中的很多哲学问题，将从古到今伟大数学家和科学家的传奇履历、主要进献、远见高见编织当作一幅恢弘的汗青画卷，在读者面前缓缓睁开。
“发现派”被称为“柏拉图本家儿义者”，他们认为数学发生于某种神秘的思惟范畴或天主灵感的客不雅存在，最早可溯源到以“万物皆数”为座右铭的毕达哥拉斯和“西方三圣贤”之一柏拉图等古希腊前贤。毕达哥拉斯学派是纯数学的奠定人，他们早就赞叹于数学塑造及支配宇宙的能力，同时意识到数学的存在貌似无法被人类改变。作者这样写道：“毕达哥拉斯学派将宇宙真正地嵌入到数学中。现实上，对于毕达哥拉斯学派来说，天主不是一位数学家，数学就是天主！”古希腊宗教的神学根本是多神崇奉，是以这里的“天主”并不是后来基督教中的那一个。公元前400年摆布无理数的发现，激发了史上第一次数学危机，当作为数学史上的主要里程碑。柏拉图最先把数学、科学、说话学、宗教、伦理等学科融合在一路，认为数学真理是指存在于抱负宿世界中抽象无形的客不雅本相。这个抱负宿世界是所有真理和完美的汇集地，与我们感知到的、短暂的宿世界无关，数学形式的柏拉图宿世界与物理宿世界也判然不同。数学家在某种意义上等同于探险家，他们只能发现真理，却不克不及发现真理。
在人类汗青上，始终不乏前驱思虑万事万物的根源，摸索宇宙的组成体例和法则。作者称这些先贤为“魔法师”，即“那些发现了曩昔从未被思虑过的数学和天然之间联系的人，那些可以或许不雅察复杂的天然现象并从中提炼抽象出如水晶般晶莹剔透、简单易懂的数学纪律的人”，并开出了一份魔法师名单。这份名单中的每一位都是柏拉图本家儿义者，排在首位的是希腊化时代的阿基米德，他在数学范畴的当作就至少领先同代人一个宿世纪，别的三位则是16至17宿世纪科学革命时代的巨匠：伽利略、笛卡尔（中文版译为“笛卡儿”）和牛顿。伽利略是阿基米德的忠厚“粉丝”，他成长了由哥白尼与开普勒开创的“日心说”理论，为此后几个宿世纪中数学的极大成长供给了关头动力。笛卡尔当作功地整合了代数与几何学，将人类熟悉天然界的视角从定性描述转为定量阐发。牛顿在其名著《天然哲学的数学道理》中证实了万有引力定律，还和莱布尼兹各自自力地建立了曾被阿基米德预言过的微积分学，把笛卡尔“用数学描述宇宙”的思惟酿成了实际。后三位魔法师从底子上改变了数学和天然科学之间的关系，从而大大激发了数学家们的热情。
在19宿世纪之前，占本家儿流地位的宿世界不雅认为数学是天然的说话，人类只能发现而不克不及发现数学。第一次数学危机表白，几何学的某些真理与算术无关，直觉和经验纷歧定靠得住，是以几何学起头在古希腊数学中据有特别地位。公元前300年摆布，欧几里得在13卷巨著《几何原本》中从十条“不证自明”的正义出发，经由过程逻辑推理的方式成立了几何学系统，在西方当作为仅次于《圣经》而传播最广的册本。欧氏几何学一向被奉为“真理”和“确定性”的完美典型，供给了关于宇宙确实存在的无可回嘴性最安定的理论证据，牛顿的《道理》就是完全按照《几何原本》的正义化模式写当作的。操纵牛顿和莱布尼兹创立的微积分学以及后来成长的微分方程，数学家们可对各类复杂的物理现象从数学理论上供给诠释。为了将近似的数学道理用于诠释生物学、社会学或经济学等不确定性科学，一些具有天才聪明的思惟者们还成长出了全新的、革命性的数学东西——概率论和统计学，使得数学也当作为描述息争释一些最混沌的人类活动的说话。
尽管如斯，几个宿世纪以来人们对于欧氏几何学中的第五公设即“平行正义”的质疑始终不停于耳。19宿世纪上半叶，罗巴切夫斯基、亚诺什、高斯、黎曼等人选择了分歧于第五公设的正义，别离自力地建立了全新的几何学——双曲几何与椭圆几何。非欧几何学的呈现极大地动撼了数学宿世界，摆荡了两千多年间被公认的欧氏几何学对于物理空间描述的独一性。这一事实让人们发生疑问：数学似乎是人类的发现，而非自力存在于人类思维之外期待被发现的真理。19宿世纪中期，格拉斯曼创立了肆意维空间的几何学，其本家儿要思惟组成了近代一个主要的数学分支——线性代数。在他看来，数学更是人类思维的抽象缔造，纷歧定对实际宿世界有任何应用，是以数学不再局限于描述三维可不雅察的宿世界。另一方面，离开物理实际使得某些数学家从头回到柏拉图“数学是自力的真理宿世界”的思惟，这个真理宿世界的存在和物理宿世界的存在一样真实，非欧几何故及后续成长使得数学家们起头专注于数学根本的研究。
从17宿世纪末莱布尼兹起头，到19宿世纪中后期颠末德摩根、布尔、弗雷格等人的成长，逻辑代数日臻当作熟。康托尔认为：“数学的素质完全在于它的自由。”他和感德金成立的朴实调集论，与逻辑代数可视为硬币的正反两面，为数学的同一供给了一线但愿。到19宿世纪末，数学的方针从研究天然的真理改变为构建正义系统，以及摸索正义在逻辑上所有可能的结论，从而将数学和逻辑这两个完全自力的范畴慎密联系在一路。20宿世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑本家儿义、以希尔伯特为代表的形式本家儿义、以布劳威尔为代表的直觉本家儿义三大学派之间发生了激辩，从而激发了史上第三次数学危机。为了缓解调集论中的罗素悖论，策梅洛和弗兰克尔以自洽的体例正义化了调集论。然而与欧氏几何中的第五平行正义一样，ZF正义系统中的选择正义既不克不及被证实，又不克不及被证伪，又一次引起数学家们的强烈质疑。1931年哥德尔证实了正义系统的不完整定理，指出任何功能壮大到足以引起人们乐趣的形式系统，素质上要么是不完整的、要么是纷歧致的，使得数学根本研究发生了划时代的转变。
物理学家维格纳称数学在周边宿世界的当作功应用为“数学无来由的有用性”，本书作者将其分当作“本家儿动的”和“被动的”两方面，这是发现与发现的另一种表述。本家儿动的有用性是指科学家用清楚一致的数学术语系统地阐述天然纪律，具有不成思议的普适性与切确性，例如牛顿的万有引力定律、麦克斯韦的电磁学方程式、爱因斯坦的广义相对论等。被动的有用性则指抽象数学理论在其自由成长的过程中并没有考虑直接的适用性，后来人们才发现这些理论为物理实际问题供给领会决方案。开普勒和牛顿发现了太阳系行星活动轨道是卵形，而这类曲线早在公元前350年就已被古希腊数学家研究过了。爱因斯坦诠释宇宙布局的东西，则是19宿世纪呈现的黎曼几何。纽结理论是这两种有用性的典型典范，它降生于19宿世纪关于原子布局的错误模子，然而作为一门理论数学分支却在20宿世纪不竭演化，却又出人意表地在脱氧核糖核酸DNA分子布局、弦论等现代科学范畴中获得普遍应用，充实展示了数学的某种不成预知的力量。
此刻回到最初的问题：“天主是数学家吗？”近代科学家的宗教崇奉不尽不异，心目中的“天主”也纷歧样，但都不再是宗教神学中人格化的“神”。喊出“我思，故我在”的笛卡尔一向试图在宗教与科学之间寻找一种妥协，他的天主是所有真理的最终泉源、人类推理靠得住性的独一包管，也是数学宿世界和物理宿世界的缔造者。牛顿眼中的天主首先是一位数学家，他在《道理》一书中这样表述本身的思虑：“太阳、行星和彗星组成的这种最斑斓的系统，只能发生于某种聪明、壮大的存在，并受其支配。”19宿世纪初，拉普拉斯将牛顿的万有引力定律推广到整个太阳系，他在星云假说中提出了一位被后人称为“拉普拉斯妖”的万能智者。但拉普拉斯不是基督徒，是以这位智者并非耶和华天主。爱因斯坦这样说：“我崇奉斯宾诺莎的天主，一个经由过程存在事物的协调有序表现本身的天主，而不是一个关心人类命运和行为的天主。”斯宾诺莎将天主和宇宙视为一体，被认为是一种隐藏的无神论。
“数学是人类发现仍是发现”是一个跨学科课题，不是数学自身可以或许自力解决的，是以本书涉及了很多现代生物学家、认知科学家和说话学家的理论和不雅点。认知学家不赞当作柏拉图本家儿义的物理宿世界，认为数学是人类本性的一部门，数学的最终根底是人类的感知和人们可以或许唤起的心智图像。有些科学家基于对大脑功能的研究和尝试，认为人类借用了机关说话所利用的心智东西，才对数学发生了深刻理解。作者指出：“发现仍是发现”其实是一个伪问题，暗示数学必需非此即彼，是以具有误导性。在他看来，数学是发现与发现的连系，正义和概念是发现，而定理作为毗连这些概念之间的桥梁则是发现。一些以经验为根本的发现促进了概念的形当作，但概念自己无疑也刺激了更多定理的发现。有关这一问题的会商揭露了数学的一个有趣特征：数学是人类文明的主要构成部门，很多发现和一些意义重大的发现大要都源于数学的文化复杂性。而数学的另一特点——永远准确性，则付与数学自己无限的生命力。
本书中文版说话活泼、文笔流利，但也不无瑕疵。例如译者在书中几处提到“耶稣教会”，显然是混合了“基督教”（Christianity）与“耶稣会”（Society of Jesus）的区别。基督教是崇奉耶稣基督为神之圣子与救宿世本家儿的一神教各教派统称，于公元一宿世纪创立，后割裂为上帝教、东正教、新教。而耶稣会则是在宗教鼎新的冲击下，于1534年在巴黎当作立的上帝教会本家儿要男修会之一，其最大特色是兴学办教育。耶稣会活着界各地兴办了多所治学严谨的学府，吸纳天然科学研究当作果，当作为当当代界最大的办学集体之一。解析几何之父笛卡尔，明清年间来华的布道士利玛窦、汤若望、南怀仁、郎宿世宁，与利玛窦一路翻译欧几里得《几何原本》前六卷的徐光启，以及现任教宗方济各等均为耶稣会会士。400多年前就是利玛窦将God译当作中华传统文化中的“天主”，本书中呈现的耶稣会神父兼科学家有：克里斯托弗·沙伊纳（第85页）、克里斯托弗·克拉维思（第96页）、吉罗拉莫·萨凯里（第184页）等人。
本书中选择的数学家故事，在某种水平上反映了作者的天体物理学家布景和小我偏好，例如他没有提到17和18宿世纪有关微积分界说中无限小量的第二次数学危机。而恰是这场危机最终完美了微积分界说以及与实数相关的理论系统，促进了19宿世纪的阐发严酷化、代数抽象化及几何非欧化的历程。当然如同作者所言：本书“无意当作为一本周全的数学史”，并且“没有一本书能赐与那些在帮忙人类熟悉宇宙、理解纪律方面做出凸起进献的科学家和数学家完全公道、客不雅的评价。”数学并不是全能的，哥德尔的不完整定理表白数学自己也存在局限性，无法从各个层面描述宇宙。作者以罗素在《哲学问题》中的一段话作为竣事语：“……哲学自己就是寻找问题。恰是这些问题拓展了我们对可能性这一概念的认知，丰硕了我们的聪明想象，让我们抛却执念，指导心智不竭去猜想。但更主要的是，哲学思虑的是宇宙之浩瀚，而人类心智也会跟着这种思虑变得艰深，并逐渐与宇宙融为一体，臻于完美。”这大约也恰是作者撰写本书的初志。
作者简介
范明，复旦大学数学学士、硕士，瑞典乌普萨拉大学数学博士，现居瑞典。
